매주 토요일 밤, 6개 번호를 기다리는 사람이 수천만 명입니다. 그런데 우리가 사는 1,000원짜리 종이에 담긴 진짜 가치는 얼마일까요? 수학적으로 따져봤습니다.
500원
로또 1장(1,000원)의 수학적 기댓값
환급률 50% — 내 1,000원 중 500원은 어디로 갈까?
복권 및 복권기금법에 따라 로또 판매액의 50%는 당첨금 재원, 나머지 50%는 국가 복권기금과 운영비로 쓰입니다.
쉽게 말하면 이렇습니다.
어떤 회차에 600억 원어치가 팔렸다면, 1등부터 5등까지 당첨금을 모두 합쳐도 300억 원을 넘을 수 없습니다.
이것이 기댓값의 출발점입니다. 내가 1,000원을 내면, 수학적으로는 평균 500원을 돌려받는 구조입니다.
"그럼 항상 손해 아닌가요?" — 맞습니다. 하지만 500원을 내고 26억짜리 꿈을 살 수 있다는 게 로또의 본질이기도 합니다. 이 얘기는 마지막에 다시 하겠습니다.
등수별 당첨 확률 — 실제로 얼마나 어려울까?
로또 45개 번호 중 6개를 고르는 경우의 수는 8,145,060가지입니다. 이 숫자를 기준으로 각 등수의 이론 확률을 계산하면 다음과 같습니다.
| 등수 | 조건 | 당첨 확률 | 1/N |
|---|---|---|---|
| 1등 | 6개 일치 | 0.0000123% | 1/8,145,060 |
| 2등 | 5개 + 보너스 일치 | 0.0000737% | 1/1,357,510 |
| 3등 | 5개 일치 | 0.00287% | 1/34,808 |
| 4등 | 4개 일치 | 0.137% | 1/733 |
| 5등 | 3개 일치 | 2.24% | 1/45 |
5등(5,000원)조차 45장 중 1번꼴입니다. 4등(50,000원)은 733장에 1번입니다.
몇 장 사야 한 번 맞출까?
확률을 뒤집으면 "기댓값상 몇 장을 사야 한 번 당첨되는지" 알 수 있습니다.
| 목표 | 필요한 장 수 | 구매 비용 |
|---|---|---|
| 5등 한 번 (5,000원) | 45장 | 45,000원 |
| 4등 한 번 (50,000원) | 733장 | 733,000원 |
| 3등 한 번 (약 150만 원) | 34,808장 | 3,480만 원 |
| 1등 한 번 | 8,145,060장 | 81억 원 |
5등을 위해 45,000원을 쓰면 5,000원을 돌려받습니다. 순수 기댓값으로만 보면 손해입니다.
단, 이건 "5등만 노렸을 때"의 계산입니다. 실제로는 45장을 사는 동안 5등뿐 아니라 4등, 3등, 운 좋으면 1등이 함께 기대되므로 단순 계산과는 다릅니다. 어떤 등수든 당첨 기댓값의 합은 결국 투입금액의 50%에 수렴합니다.
1등 당첨금, 실제로 얼마나 될까?
1등 당첨금은 "1등 당첨금 재원 ÷ 1등 당첨자 수"라 매 회차마다 달라집니다. 1회부터 1,219회까지 데이터를 보면 이렇습니다.
26.7억 원
1등 평균 당첨금
1,219회 기준
407억 원
역대 최고 당첨금
19회, 2003년, 단독 당첨
약 4억 원
역대 최저 당첨금
546회, 2013년, 30명 공동
당첨자 수 분포도 흥미롭습니다.
- 단독 당첨(1명): 전체 중 28회(2.3%)
- 가장 흔한 당첨자 수: 7명 (131회, 10.9%)
- 역대 최다 공동 당첨: 63명 (이때 1인당 약 4.2억 원)
1등 당첨자가 많을수록 당첨금이 나뉘어 1인당 금액은 줄어듭니다.
주 1장, 50년 사면 얼마나 쓸까?
매주 1장씩 50년 동안 구매한다고 가정하면 이렇습니다.
| 항목 | 수치 |
|---|---|
| 구매 횟수 | 2,600장 |
| 투입 금액 | 260만 원 |
| 수학적 기댓값 | 130만 원 (환급률 50%) |
| 기대 손실 | 130만 원 |
월 평균 4,300원을 쓰는 셈입니다.
같은 기간 동안 기댓값상 5등에 약 57회, 4등에 약 3회 당첨됩니다. 1등은 기댓값상 0.0003회, 즉 사실상 0에 가깝습니다.
그래도 사는 이유
수학적으로 로또는 항상 손해입니다. 그런데 왜 매주 수천만 명이 살까요?
1,000원으로 살 수 있는 것들을 생각해보면:
- 편의점 커피 한 잔 → 당일 소비로 끝
- 로또 한 장 → 추첨 전까지 1주일 동안 26억짜리 상상
기댓값은 500원이지만, 추첨 전까지 느끼는 기대감은 돈으로 환산하기 어렵습니다. 경제학에서는 이를 "엔터테인먼트 가치" 라고 부릅니다.
로또를 "당첨되면 좋고, 안 돼도 일주일의 상상을 산다"는 마음으로 접근한다면, 그 비용은 1,000원으로 충분합니다.
번호를 직접 골라보고 싶다면 번호 추천에서 통계 기반 번호를 만들어볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
환급률 50%라면 항상 손해인가요?
수학적 기댓값으로는 그렇습니다. 단, 기댓값은 "무한히 반복했을 때의 평균"이므로 한 장으로 1등에 당첨될 수도 있습니다. 복권의 가치는 기댓값만으로 설명되지 않습니다.
자동이 수동보다 당첨 확률이 높나요?
아닙니다. 로또 추첨은 완전 무작위이므로 자동·수동 모두 이론 확률은 동일합니다. 다만 수동으로 인기 번호(생일, 7의 배수 등)를 고르면 당첨 시 공동 당첨자가 많아져 1인당 당첨금이 줄어들 수 있습니다.
여러 장 사면 확률이 올라가나요?
올라갑니다. 5장을 사면 확률은 5배가 됩니다. 단, 5장을 사도 1등 확률은 여전히 약 163만 분의 1 수준입니다.
1등 당첨자가 많으면 왜 당첨금이 줄어드나요?
1등 당첨금은 고정액이 아니라 "1등 당첨금 재원 ÷ 1등 당첨자 수"로 결정됩니다. 같은 번호를 고른 사람이 많을수록 나눠 갖는 인원이 늘어나 1인당 금액이 줄어듭니다.